1、2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式及其解法学 习 目 标核 心 素 养1.掌握一元二次不等式的解法(重点).2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.1一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式2一元二次不等式的一般形式(1)(a0)(2)(a0)(3)(a0)(4)(a0)思考1：不等式x2y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式3一元二次不
2、等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集思考2：类比“方程x21的解集是1，1，解集中的每一个元素均可使等式成立”不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为x|x1，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立4三个“二次”的关系设(a0)，方程的判别式b24ac判别式000解不等式y0或y0的步骤求方程y0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2没有实数根画函数(a0
3、)的图象得等的集不式解y0x|xx1_或|x1xx2思考3：若一元二次不等式ax2x1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2x1>0的解集为R，则解得a，所以不存在a使不等式ax2x1>0的解集为R.1不等式的解集为()A.B.C.(x3)(2×1)0x3或x.2不等式的解集为()A.B.C DRD因为(2)24×3×，所以不等式的解集为R.3不等式x22x5>2x的解集是_x|x>5或x&l
4、t;1由x22x5>2x，得x24x5>0，因为的两根为1,5，故x24x5>0的解集为x|x54不等式>0的解集为_原不等式变形为；(2)；(3)，所以方程有两个不等实根x13，
5、x2.又二次函数的图象开口向上，所以原不等式的解集为.(2)原不等式可化为20，所以原不等式的解集为.(3)原不等式可化为>0，因为94×2×27
6、二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.1解下列不等式(1)>0；(2)x24x4>0；(3).解(1)>0，方程的根是x1，x22，不等式>0的解集为.(2)0，方程的根是x1x22，不等式x24x4>0的解集为.(3)原不等式可化为x22x3>0，由于0，方程的两根为x1，x21，不等式&
7、gt;0的解集为.含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x的不等式ax2(a1)x10三类进行讨论？当a0时，是否还要比较两根的大小？解当a0时，原不等式可化为x>1.当a0时，原不等式可化为(ax1)(x1)0，1.当a>0时，原不等式可化为(x1)1，则1，即0
8、lt;0时，原不等式的解集为；当a0时，原不等式的解集为x|x>1；当01时，原不等式的解集为.解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并2解关于x的不等式：(a
9、解集为.三个“二次”的关系探究问题1利用函数的图象说明当y>0、y0时自变量x组成的集合，亦即二次函数的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合x|x3；同理，满足y0(a>0)或
10、(a>0)是函数(a0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y0时，函数(a0)就转化为方程，当y>0或y0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示：方程的解集为1,3不等式x22x3>0的解集为x|x3，观察发现不等式x22x3>0解集的端点值恰好是方程的根3设一元二次不等式>0(a>0)和)的解集分别为x|x
11、>x2，x|x10(a>0)和)的解集分别为x|xx2，x|x10的解集为x|20的解集为x|2
12、系数的关系可知5，6.由a0，即x2x>0，解得x，所以不等式的解集为x|20的解集解由根与系数的关系知5，6且a
13、0，即x2x0的解集为x|2
14、3;x2，其中，x13，x2.不等式的解集为.已知以a，b，c为参数的不等式(如)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.1解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：化不等式为标准形式：(a0)或(a0)；求方程(a0)的根，并画出对应函数图象的简图；由图象得出不等式的解集
15、(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解当m0)，一根(0)，无根(
16、x轴的交点坐标.1思考辨析(1)，则一元二次不等式ax21>0无解()(3)若一元二次方程的两根为x1，x2(x10的解集为R.()提示(1)错误当m0时，是一元一次不等式；当m0时，是一元二次不等式(2)错误因为a>0，所以不等式ax21>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)错误当a>0时，
17、确因为(2)2120的解集为R.答案(1)×(2)×(3)×(4)2设a0.又aa，所以x>或x0的解集为_由题意，2，是方程的两个根且a0，即为的解集为.4解下列不等式：(1)x(7x)12；(2)x2>2(x1)解(1)原不等式可化为，因为方程的两根为x13，x24，所以原不等式的解集为x|3×4(2)原不等式可以化为x22x2>0，因为判别式484
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